下面以半无限大的铸件为例，运用导热微分方程式

求铸件和铸型中的温度场。

假设具有一个平面的半无限大铸件在半无限大的铸

型中冷却，如图１２３所示。铸件和铸型的材料是均质

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的，其热扩散率α１ 和α２ 近似地为不随温度变化的定值，铸型的初始温度为ｔ２０，并设液态金

属充满铸型后立即停止流动，且各处温度均匀，即铸件的初始温度为ｔ１０，将坐标的原点设

在铸件与铸型的接触面上。在这种情况下，铸件和铸型任意一点的温度ｔ与ｙ和ｚ无关，为

一维导热问题。

这些杂质往往不只是一种，而是多种多样的，它们在液体中不会很均匀地分布。它们的存在方式也是不同的，有的以溶质方式，有的与其他原子形成某些化合物 （液态、固态或气态的夹杂物）。下面先就一个最简单的模型作一分析，假定液体中只存在一种杂质原子。当金属中存在第二种原子时 （如合金），情况就复杂多了。由于同种元素及不同元素之间的原子间结合力是不同的，结合力较强的原子容易聚集在一起，把别的原子排挤到别处。因此，在游动集团中有的Ａ种原子多，有的Ｂ种原子多，即游动集团之间存在着成分不均匀性，称为 “浓度起伏”。

空穴的产生使局部地区能垒

降低，邻近的原子则进入空穴位置，造成空穴的移动。温度愈高，原子的能量愈大，产生的

空穴数目愈多，从而使金属膨胀。在熔点附近，空穴数目可达原子总数的１０％。

当把金属加热到熔点时，会使金属的体积突然膨胀３％～５％。这个数值等于固态金属

力学温度零度加热到熔点前的总膨胀量。除此之外，金属的其他性质如电阻、黏性等在

度下发生突变。同时，这种突变还反映在熔化潜热上，即金属在此时吸收大量热量，温

不升高。这些突变现象是不能仅仅用离位原子和空穴数目的增加加以解释的。